股票a和股票b收益率的协方差是多少(股票a和股票b收益率的协方差是多少倍)

股票a和股票b的回报率的协方差是多少？这个问题很简单，我们可以通过公式计算出来。假设股票a的收益率为0.8%，那么股票a的收益率为0.8%*b=0.8%*0.8-0.8=0.2。也就是说股票a的收益率是0.2。这个数据是不是很惊人呢？不信的话，我们来看看美国股市到底是怎么回事。美国股市的历史平均回报率为10%，而A股的历史平均回报率为-4.5%。可见，中国股市的风险远大于美国股市。

1Dalio、“全天候”基金和风险平价

20世纪90年代初期，BridgewaterAssociates创始人RayDalio和他的合伙人BobPrince首先提出了全天候战略。这一策略的初衷是构建一个能够在不同经济环境下稳定表现的投资组合。自1996年以来，达利奥一直采用这一策略来管理其家族基金，最终推出了全天候基金。事实上，桥水的全天候基金在过去20年里有着非凡的表现，其中自然包括2008年的次贷危机和2010年的欧债危机。

如今，桥水已经成为全球最大的对冲基金（资产管理规模约1600亿美元），达利欧的全天候策略也早已享誉华尔街。虽然我们不知道桥水版全天候策略的实施细节（那是他们的商业秘密），但全天候概念是完全公开的，达利奥本人也在桥水的日常观察中进行了解读（Dalioetal.2017）。2015）。

桥水认为，各种投资产品（股票、债券、大宗商品等）的收益率是由未来经济状况决定的，而未来经济状况主要受两大因素驱动：经济增长和通胀。根据其变化，经济环境可分为四种情况：——“经济上升”、“经济下降”、“通胀上升”、“通胀下降”。不同类型的投资产品在不同的经济环境下表现不同。

例如，当经济增长时，权益资产（股票）往往表现良好；当经济疲软或通胀下降时，债券资产有更好的回报；而大宗商品在经济上升或通胀上升时有更好的投资回报。在上述四种经济条件下表现较好的投资产品如下图四个方格所示。

当我们知道每种经济环境应该投资哪些投资产品后，下一个自然的问题是：未来我们属于什么经济环境？对此，巧水的回答是：“我不知道”、“我不想猜测”！相反，桥水建立了适应不同经济环境的投资组合，这就是“全天候”的含义。为此，他们要求其“全天候”投资组合对所有四种经济环境具有同等的敞口。具体来说，他们为每种经济情景分配了25%的风险。可以理解的是，桥水在这四种经济环境中分别构建了一个子投资组合。每个子投资组合具有相同的风险，每个子投资组合占总投资组合的四分之一。总投资组合是这四个子投资组合的集合。

“全天候”的核心就是将投资组合的风险均匀暴露于不同的经济环境，从而对冲市场环境的风险，这样无论我们未来处于哪种经济环境，投资组合可控。业界后来使用风险平价一词来指代在这四种经济环境中均匀分配投资组合对宏观经济环境的敞口的想法。

值得一提的是，风险平价一词并不是桥水基金提出的，而是泛亚资产管理公司的钱博士于2005年提出的（Qian2005）。桥水“全天候”基金的出色表现，让风险平价一词深入人心，而“风险平价”一词也精准诠释了“全天候”的核心。

看到这里，我们可能会问，全天候策略在某些经济环境下配置权益类资产，在另一些经济环境下配置债券类资产。债券资产的风险远低于权益资产。那么如何实现风险的平均分配呢？呢绒？这个问题的答案是“全天候”——利用杠杆的另一个核心。低风险、低回报的资产（如债券）可以通过杠杆提高风险和回报；高风险、高回报的资产（如股票）可以通过去杠杆来降低风险和回报。通过杠杆的使用，经济四方网格中的各种资产对总投资组合具有相似的风险贡献。

此外，全天候策略要求这四种经济环境下的子投资组合具有相似的回报风险比（即夏普比率）。这意味着在均匀分配风险后，每个环境中的子投资组合对整体投资组合的贡献相似。这四个子投资组合中的每一个都适应经济环境。它们是为了对冲宏观经济风险而构建的，因此绩效存在一定的负相关性。无论我们处于什么样的经济环境，总会有适应环境、表现良好的投资组合。真可谓“你唱我登场”。随着时间的推移，由于风险溢价的存在，“四方格”中的子投资组合将会上升，因此整体投资组合能够承受不同的经济环境。由于对风险的有效对冲，全天候投资组合比各子投资组合波动更小，风险回报比更高，因此长期来看会比这些子投资组合获得更高的回报。

与传统按资金配置的投资产品组合相比，按风险配置的风险平价策略可以在不同的经济环境下实现更有效的对冲。例如，传统的60/40投资组合将60%的资金分配给股票，40%的资金分配给债券。然而，考虑到股票的风险是债券的3倍，这个投资组合90%的风险实际上来自股票。当经济环境不利于股票时，债券收益显然不能有效对冲股票损失。

2等风险贡献投资组合

由于全天候基金的巨大成功，风险平价的概念很快在投资界流行起来，并被其他对冲基金效仿，形成了很多版本。其中，最著名的版本无疑是等权风险贡献组合（以下简称EWRCP）。它使用投资组合的波动性（回报）作为风险指标，并确定更好的分配权重，目标是每项投资对投资组合的波动性做出同等的贡献。

该组合的数学模型如下。

上述优化问题的输入是N个投资产品的协方差矩阵和给定的投资组合风险值C。解决它会给出更优化的分配w_i，使得每个投资产品对投资组合具有相同的风险贡献。

虽然上面的模型在数学上很简单，但其背后的商业意义是什么？它与熟悉的马科维茨均值方差优化(MVO)问题有何关系？不难看出（见下图），限制了投资组合的波动性后，马科维茨的MVO问题就相当于最大化投资组合的夏普率。

可以证明，当投资产品的夏普利率相同且收益相互独立时（即协方差矩阵为对角矩阵），上述风险平价优化问题等价于夏普利率问题最大化投资组合。这为可以最大化投资组合夏普比率的等风险贡献投资组合——给出了非常合理的商业解释。

但是，如果夏普利率不同和/或投资回报不独立（即协方差矩阵的非对角元素非零），会发生什么情况？通过求解上述EWRCP模型得到的更好的权重有意义吗？我们必须了解这个问题，因为在实际投资中，不同投资产品的夏普比率往往是不同的，其收益之间存在一定的正相关或负相关。如果你不理解EWRCP模型背后的含义，盲目地利用协方差矩阵进行优化，那么你得到的所谓“更好”的风险平价投资组合往往根本没有商业意义。这个投资组合有时甚至会造成巨大的损失（本文第6节的经验证据中将给出这样的例子）。

为了研究这个问题，在下面的分析中，我们研究三个优化问题。一是上述EWRCP风险平价模型。在第二个模型中，考虑到不同投资产品的夏普率不同，我们并没有将投资组合风险平均分配给这些投资，而是按照每种投资产品的夏普率的平方作为权重分配给这些投资。品尝。我们将此称为夏普比率平方加权风险贡献投资组合，或SSWRCP。在这个投资组合中，风险不再均匀分布，而是与夏普利率的平方成正比。这是主动的风险预算。第三种模型是最大夏普比率投资组合（以下简称MSP，最大夏普比率投资组合）。除了协方差矩阵之外，后两个模型还需要投资产品的预期回报作为输入。

根据定义，当投资产品的夏普比率相同时，SSWRCP问题简化为EWRCP问题。这三个模型的数学表达式如下：

无论采用哪种优化问题来解决投资组合中资产配置的权重，我们的最终目标都是最大化投资组合的夏普比率。因此，更好的配置才是MSP问题的“标准答案”。我们想看看在什么情况下MSP相当于EWRCP或SSWRCP，以及当投资产品的夏普比率不同或投资产品的收益率不独立时，EWRCP和SSWRCP的夏普比率比MSP差多少。

我们先来看最简单的案例——，只有两种投资产品。

3两个投资品的情况

首先，假设两种投资产品的夏普比率相同。根据它们是否独立（相关系数是否为零），我们进行了一组实验：

对于两种投资产品，只要它们的夏普比率相同，无论它们的收益是否相关，上述三种优化方法都是等价的（三个问题的最优投资组合是相同的）。

接下来，假设两种投资产品的夏普比率不同，我们又进行了一组实验：

当夏普比率不同时，如果投资产品是独立的，MSP和SSWRCP是等价的，并且都优于原来的EWRCP；如果两种投资产品具有相关性，则MSP的较好资产配置权重优于SSWRCP，而SSWRCP则优于EWRCP。此外，无论夏普比率是否相同，EWRCP计算出的最优资产配置权重都与两种投资产品各自的波动性成反比。

在上述实验中，MSP、SSWRCP和EWRCP的性能总结如下。

接下来我们看看三款投资产品的情况。其结论也可以推广到多种投资产品。

4三（多）个投资品的情况

首先，假设这三种投资产品的夏普比率相同，进行以下两组实验：

对于三种投资产品，当夏普率相同且每对相关系数相同（包括零，即独立）时，上述三种优化是等价的；如果它们的相关系数不满足上述条件，则MSP优于SSWRCP和EWRCP（后两个问题是等效的）。

接下来，假设三种投资产品的夏普比率不同，进行两组实验：

从以上实验可以看出，如果夏普利率不同，但三种投资产品相互独立，则MSP等价于SSWRCP，且它们的最优解优于EWRCP的最优解；如果投资产品彼此不独立（无论两两相关系数是否相同），则MSP优于SSWRCP，SSWRCP优于EWRCP。

另外，无论夏普比率是否相同，只要两种投资产品之间的相关系数相同，则原风险评估问题的较好解满足投资产品的权重及其自身的波动性。如果每对的相关系数不相同，则上述结论不成立。

MSP、SSWRCP和EWRCP这三个模型的性能总结如下。

虽然本节使用三种投资产品进行实验，但其结论可以推广到多种投资产品，为实际投资提供指导（实际投资中的投资产品数量往往超过三种）。

可以看出，最初的EWRCP风险平价问题只有在非常严格的假设下才相当于最大化投资组合的夏普比率。但在实践中，我们很难保证投资产品的夏普比率相同，且其收益之间的独立性或相关系数相同。因此，从业务角度来看，如果采用协方差矩阵并根据EWRCP问题对其进行优化，所得的更好的资产配置可能没有任何商业意义。

这是否意味着EWRCP模型在实践中没有用处？答案是否定的。我们来看看如何使用EWRCP模型来实现风险平价的本质概念。

5用EWRCP实现风险平价的本质

从上面的分析可知，在实际中直接应用EWRCP的数学模型时，应考虑以下两点：

如果不同投资产品的夏普比率已知（可以利用历史数据估计或通过因子法推断等），则应根据夏普比率的平方来分配风险，即SSWRCP模型应为予以考虑。在输入代表风险的协方差矩阵时，应该忽略收益之间的相关性，只输入一个对角矩阵——。对角线上的第i个元素代表第i项投资的风险。如果不忽略收益之间的相关性，EWRCP模型得出的最优资产配置权重往往缺乏商业意义。（顺便说一句，桥水并没有用历史收益的波动性来衡量投资产品的风险，这实际上是非常粗略和不准确的。桥水是根据对经济的理解来预测不同类型投资产品的风险的。（Hoffstein）2012）。）上面的第二点常常令人费解。桥水的全天候投资组合利用了不同投资标的在不同经济环境下表现之间的负相关性。例如，当经济增长时，股票表现良好，而债券表现不佳。那么为什么我们忽略EWRCP中回报之间的相关性呢？这里的门口在哪里？

正确答案是这样的。

协方差矩阵中的相关系数是投资产品之间的序列相关性。它描述了两种投资产品的收益率围绕其平均值波动的一致性。另一方面，纵观桥水经济四个象限的投资产品，它们的负相关性体现在不同经济环境下的平均收益之间的负相关性，与上述的序列相关性无关。

例如，当经济增长时，股票的平均回报率可能是8%，而债券的平均回报率可能是-3%。它们的平均回报率呈负相关，但这两项投资的回报率序列均围绕8%左右。和-3%的波动，并且这两个波动之间必然存在某种序列相关性。如果不忽略，这种相关性将作为EWRCP模型的输入——协方差，从而影响更好的解。从风险平价的初衷来看，不应该考虑这种序列相关性。因此，当使用协方差矩阵作为EWRCP模型的输入时，应忽略不同投资产品收益之间的协方差，仅考虑每个投资产品自身的方差。

6实证

本节通过一个简单的经验示例说明EWRCP模型的正确和错误使用将产生广泛不同的影响。考虑四种代表性投资：美国7-10年期国债（IEF）、沪深300指数（A）、标准普尔500指数（SPX）和黄金（GLD）。经验时间区间为2009年1月31日至2017年11月30日。该期间这些投资的风险和回报情况如下表和图所示。

首先，我们看一下我们错误地考虑收益之间的序列相关性的情况，即我们将收益的协方差矩阵直接带入EWRCP模型中。为了进行比较，我们使用等权配置作为基准（通过杠杆将两个投资组合的月收益波动率控制在4%）。两者均按月重新平衡，其最优资产配置权重及对应的投资组合效果如下。

令人惊讶的是（或者说并不奇怪，毕竟我们错误地使用了EWRCP模型！），错误的风险平价模型的计算结果仅在数学上保证了这四种投资产品（当错误地考虑序列相关性时）具有相同的风险贡献。投资组合，但其投资组合的实际回报表现很差（实际上是做空了标普500指数，没有商业逻辑），测试期间的年化回报为负值。

接下来我们看看正确的做法，就是忽略回报的序列相关性。此外，考虑到这些投资具有不同的夏普比率，我们还考虑SSWRCP模型，并将其与最大化夏普比率的“标准答案”MSP模型进行比较。这四个***的较好配置和投资组合回报如下。

从以上结果发现，这四个***生成的投资组合先后取得了较高的夏普比率（基金EWRCPSSWRCPMSP等权重），符合我们的预期，使用后达到了预期的效果EWRCP正确。由于这四种投资产品的夏普比率不同，EWRCP的夏普比率仅为0.98，没有超过其标的股票之一——标准普尔500指数。任何好的资产配置***都应该满足其投资组合的夏普比率高于构成投资组合的任何基础资产的夏普比率。从这个角度来看，SSWRCP和MSP无疑是更好的选择。

最后需要指出的是，本节的实证假设是为了说明EWRCP模型正确使用协方差矩阵并考虑投资产品之间夏普利率差异的价值。因此，我们假设投资产品的夏普利率在整个测试期间都是已知的。在实际投资中，我们无法提前知道投资产品在未来任意时期的收益率或夏普率。在后续专题中，我们将探讨如何基于历史数据并通过风险预算构建主动的风险平价策略。

在投资实践中，风险平价EWRCP模型相对于马科维茨的MVO模型的更大优势在于前者不需要我们猜测收益率。我们只需预测不同类型投资产品各自的风险（如果没有更好的预测模型，就用历史波动率代替），然后将包含每种投资产品风险的对角矩阵输入到EWRCP模型中即可求解。请记住，不应考虑回报的序列相关性。如果我们能够对收益率或夏普利率有更准确的判断，那么SSWRCP或MSP（即MVO）是更好的选择。

7结语

风险平价概念因全天候基金的优异表现而名声大噪，吸引了无数模仿者，形成了许多虚构的版本。其中，比较流行的恐怕就是本文介绍的等风险贡献投资组合。但如果你不了解风险平价背后的核心逻辑，在刚学完基础知识后就盲目套用数学模型，无疑是在模仿别人。

雷·达里奥之所以在华尔街备受推崇，不仅仅是因为全天候基金取得了优异的投资回报，也不仅仅是因为桥水是全球最大的对冲基金，而是因为他的个人魅力和对市场的敬畏以及始终探索投资真相的态度。正如他在Dalio等人中所写的那样。（2015）：

找出真相是双向的责任。我们的任务是诚实地传达我们所相信的事实，而您的任务是努力、公开地探究我们，以便我们能够共同努力了解真相。然后，在我们进行了这种高质量的交流之后，我们每个人都可以决定我们相信什么是真实的以及如何处理它。

翻译：找出[投资]的真相是我们双方的责任。我们[桥水]应该诚实地对待我们认为正确的事情，而你们应该勤奋、公开地探索我们的想法，以便我们一起学习什么是正确的。当我们进行如此高质量的沟通时，我们可以决定真相到底是什么以及我们应该采取什么措施。这种态度值得我们每个人学习。

参考

Dalio,R.B.Prince和G.Jensen(2015)。我们对风险平价和全天候的想法。布里奇沃特每日观察，2015年9月16日。Hoffstein,C.(2012)。不良风险平价实施的危险。可参见(2005).RiskParityPortfolios:通过真实的有效投资组合多元化。Panagora资产管理。